Resolver {r}{5p-q=7}{-2p+3q=5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver p, q

$$p=2$$

$$q=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a p mediante o illamento de p no lado esquerdo do signo igual.

$$5p-q=7$$

Suma q en ambos lados da ecuación.

$$5p=q+7$$

Divide ambos lados entre 5.

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por q+7.

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

Substitúe p por \frac{7+q}{5} na outra ecuación, -2p+3q=5.

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

Multiplica -2 por \frac{7+q}{5}.

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

Suma -\frac{2q}{5} a 3q.

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

Suma \frac{14}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{13}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$q=3$$

Substitúe q por 3 en p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar p directamente.

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

Multiplica \frac{1}{5} por 3.

$$p=\frac{3+7}{5}$$

Suma \frac{7}{5} a \frac{3}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$p=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$p=2,q=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz p e q.

$$p=2,q=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Para que 5p e -2p sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

Simplifica.

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

Resta -10p+15q=25 de -10p+2q=-14 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

Suma -10p a 10p. -10p e 10p anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2q-15q=-14-25$$

Suma 2q a -15q.

$$-13q=-14-25$$

Suma -14 a -25.

$$-13q=-39$$

Divide ambos lados entre -13.

$$q=3$$

Substitúe q por 3 en -2p+3q=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar p directamente.

$$-2p+3\times 3=5$$

Multiplica 3 por 3.

$$-2p+9=5$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$-2p=-4$$

Divide ambos lados entre -2.

$$p=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$p=2,q=3$$