Resolver {r}{4x-2y=6}{-2x+2y=8}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 4 x - 2 y = 6 } \\ { - 2 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=7$$

$$y=11$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-2y=6,-2x+2y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-2y=6$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$4x=2y+6$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por 6+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Substitúe x por \frac{3+y}{2} na outra ecuación, -2x+2y=8.

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+2y=8$$

Multiplica -2 por \frac{3+y}{2}.

$$-y-3+2y=8$$

Suma -y a 2y.

$$y-3=8$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$y=11$$

Substitúe y por 11 en x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\times 11+\frac{3}{2}$$

Multiplica \frac{1}{2} por 11.

$$x=\frac{11+3}{2}$$

Suma \frac{3}{2} a \frac{11}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=11$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-2y=6,-2x+2y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\times 6+8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=7,y=11$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-2y=6,-2x+2y=8$$

Para que 4x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$-2\times 4x-2\left(-2\right)y=-2\times 6,4\left(-2\right)x+4\times 2y=4\times 8$$

Simplifica.

$$-8x+4y=-12,-8x+8y=32$$

Resta -8x+8y=32 de -8x+4y=-12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-8x+8x+4y-8y=-12-32$$

Suma -8x a 8x. -8x e 8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-8y=-12-32$$

Suma 4y a -8y.

$$-4y=-12-32$$

Suma -12 a -32.

$$-4y=-44$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=11$$

Substitúe y por 11 en -2x+2y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x+2\times 11=8$$

Multiplica 2 por 11.

$$-2x+22=8$$

Resta 22 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-14$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=11$$