Resolver {r}{2x+5y=9}{x-y=5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 2 x + 5 y = 9 } \\ { x - y = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{34}{7} = 4\frac{6}{7} \approx 4.857142857$$

$$y=-\frac{1}{7}\approx -0.142857143$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+5y=9,x-y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+5y=9$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-5y+9$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+9\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -5y+9.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}$$

Substitúe x por \frac{-5y+9}{2} na outra ecuación, x-y=5.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}-y=5$$

Suma -\frac{5y}{2} a -y.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{9}{2}=5$$

Resta \frac{9}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{2}y=\frac{1}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{1}{7}$$

Substitúe y por -\frac{1}{7} en x=-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{1}{7}\right)+\frac{9}{2}$$

Multiplica -\frac{5}{2} por -\frac{1}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{5}{14}+\frac{9}{2}$$

Suma \frac{9}{2} a \frac{5}{14} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{34}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{34}{7},y=-\frac{1}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+5y=9,x-y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-5}&-\frac{5}{2\left(-1\right)-5}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-5}&\frac{2}{2\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 9+\frac{5}{7}\times 5\\\frac{1}{7}\times 9-\frac{2}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{34}{7}\\-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{34}{7},y=-\frac{1}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+5y=9,x-y=5$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x+5y=9,2x+2\left(-1\right)y=2\times 5$$

Simplifica.

$$2x+5y=9,2x-2y=10$$

Resta 2x-2y=10 de 2x+5y=9 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+5y+2y=9-10$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y+2y=9-10$$

Suma 5y a 2y.

$$7y=9-10$$

Suma 9 a -10.

$$7y=-1$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=-\frac{1}{7}$$

Substitúe y por -\frac{1}{7} en x-y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-\left(-\frac{1}{7}\right)=5$$

Resta \frac{1}{7} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{34}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{34}{7},y=-\frac{1}{7}$$