Resolver {l}{y-x=9}{10+2x=-2y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - x = 9 } \\ { 10 + 2 x = - 2 y } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-7$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 2y en ambos lados.

$$10+2x+2y=0$$

Resta 10 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$2x+2y=-10$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-x=9,2y+2x=-10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-x=9$$

Suma x en ambos lados da ecuación.

$$y=x+9$$

Substitúe y por x+9 na outra ecuación, 2y+2x=-10.

$$2\left(x+9\right)+2x=-10$$

Multiplica 2 por x+9.

$$2x+18+2x=-10$$

Suma 2x a 2x.

$$4x+18=-10$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$4x=-28$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-7$$

Substitúe x por -7 en y=x+9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-7+9$$

Suma 9 a -7.

$$y=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=2,x=-7$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 2y en ambos lados.

$$10+2x+2y=0$$

Resta 10 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$2x+2y=-10$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-x=9,2y+2x=-10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 9+\frac{1}{4}\left(-10\right)\\-\frac{1}{2}\times 9+\frac{1}{4}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=2,x=-7$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 2y en ambos lados.

$$10+2x+2y=0$$

Resta 10 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$2x+2y=-10$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-x=9,2y+2x=-10$$

Para que y e 2y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2y+2\left(-1\right)x=2\times 9,2y+2x=-10$$

Simplifica.

$$2y-2x=18,2y+2x=-10$$

Resta 2y+2x=-10 de 2y-2x=18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2y-2y-2x-2x=18+10$$

Suma 2y a -2y. 2y e -2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2x-2x=18+10$$

Suma -2x a -2x.

$$-4x=18+10$$

Suma 18 a 10.

$$-4x=28$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-7$$

Substitúe x por -7 en 2y+2x=-10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2y+2\left(-7\right)=-10$$

Multiplica 2 por -7.

$$2y-14=-10$$

Suma 14 en ambos lados da ecuación.

$$2y=4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=2,x=-7$$