Resolver {l}{y-x=6}{2x+2y=26}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - x = 6 } \\ { 2 x + 2 y = 26 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

$$y = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-x=6,2y+2x=26$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-x=6$$

Suma x en ambos lados da ecuación.

$$y=x+6$$

Substitúe y por x+6 na outra ecuación, 2y+2x=26.

$$2\left(x+6\right)+2x=26$$

Multiplica 2 por x+6.

$$2x+12+2x=26$$

Suma 2x a 2x.

$$4x+12=26$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$4x=14$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{7}{2}$$

Substitúe x por \frac{7}{2} en y=x+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{7}{2}+6$$

Suma 6 a \frac{7}{2}.

$$y=\frac{19}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{19}{2},x=\frac{7}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-x=6,2y+2x=26$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{4}\times 26\\-\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{4}\times 26\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=\frac{19}{2},x=\frac{7}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-x=6,2y+2x=26$$

Para que y e 2y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2y+2\left(-1\right)x=2\times 6,2y+2x=26$$

Simplifica.

$$2y-2x=12,2y+2x=26$$

Resta 2y+2x=26 de 2y-2x=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2y-2y-2x-2x=12-26$$

Suma 2y a -2y. 2y e -2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2x-2x=12-26$$

Suma -2x a -2x.

$$-4x=12-26$$

Suma 12 a -26.

$$-4x=-14$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=\frac{7}{2}$$

Substitúe x por \frac{7}{2} en 2y+2x=26. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2y+2\times \frac{7}{2}=26$$

Multiplica 2 por \frac{7}{2}.

$$2y+7=26$$

Resta 7 en ambos lados da ecuación.

$$2y=19$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=\frac{19}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{19}{2},x=\frac{7}{2}$$