Resolver {l}{y-2x=4}{2x+3y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right\}$$

Resolver y, x

$$x=2$$

$$y=8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-2x=4$$

Suma 2x en ambos lados da ecuación.

$$y=2x+4$$

Substitúe y por 4+2x na outra ecuación, 3y+2x=28.

$$3\left(2x+4\right)+2x=28$$

Multiplica 3 por 4+2x.

$$6x+12+2x=28$$

Suma 6x a 2x.

$$8x+12=28$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$8x=16$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y=2x+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=2\times 2+4$$

Multiplica 2 por 2.

$$y=4+4$$

Suma 4 a 4.

$$y=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=8,x=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 28\\-\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 28\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=8,x=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Para que y e 3y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=3\times 4,3y+2x=28$$

Simplifica.

$$3y-6x=12,3y+2x=28$$

Resta 3y+2x=28 de 3y-6x=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3y-3y-6x-2x=12-28$$

Suma 3y a -3y. 3y e -3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6x-2x=12-28$$

Suma -6x a -2x.

$$-8x=12-28$$

Suma 12 a -28.

$$-8x=-16$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en 3y+2x=28. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$3y+2\times 2=28$$

Multiplica 2 por 2.

$$3y+4=28$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$3y=24$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=8,x=2$$