Resolver {l}{y=x-18}{y=15x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = x - 18 } \\ { y = 15 x } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7} \approx -1.285714286$$

$$y = -\frac{135}{7} = -19\frac{2}{7} \approx -19.285714286$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=-18$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 15x en ambos lados.

$$y-15x=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-x=-18,y-15x=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-x=-18$$

Suma x en ambos lados da ecuación.

$$y=x-18$$

Substitúe y por x-18 na outra ecuación, y-15x=0.

$$x-18-15x=0$$

Suma x a -15x.

$$-14x-18=0$$

Suma 18 en ambos lados da ecuación.

$$-14x=18$$

Divide ambos lados entre -14.

$$x=-\frac{9}{7}$$

Substitúe x por -\frac{9}{7} en y=x-18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\frac{9}{7}-18$$

Suma -18 a -\frac{9}{7}.

$$y=-\frac{135}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-\frac{135}{7},x=-\frac{9}{7}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=-18$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 15x en ambos lados.

$$y-15x=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-x=-18,y-15x=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-15-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-15-\left(-1\right)}&\frac{1}{-15-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{14}&-\frac{1}{14}\\\frac{1}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{14}\left(-18\right)\\\frac{1}{14}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{135}{7}\\-\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-\frac{135}{7},x=-\frac{9}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=-18$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 15x en ambos lados.

$$y-15x=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-x=-18,y-15x=0$$

Resta y-15x=0 de y-x=-18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-x+15x=-18$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-x+15x=-18$$

Suma -x a 15x.

$$14x=-18$$

Divide ambos lados entre 14.

$$x=-\frac{9}{7}$$

Substitúe x por -\frac{9}{7} en y-15x=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-15\left(-\frac{9}{7}\right)=0$$

Multiplica -15 por -\frac{9}{7}.

$$y+\frac{135}{7}=0$$

Resta \frac{135}{7} en ambos lados da ecuación.

$$y=-\frac{135}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-\frac{135}{7},x=-\frac{9}{7}$$