Resolver {l}{y=kx+2}{y=2x+k}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + 2 } \\ { y = 2 x + k } \end{array} \right.$$

Resolver x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=1\text{, }y=k+2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{y-2}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&k=2\end{matrix}\right.$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta kx en ambos lados.

$$y-kx=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=k$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+\left(-k\right)x=2$$

Suma kx en ambos lados da ecuación.

$$y=kx+2$$

Substitúe y por kx+2 na outra ecuación, y-2x=k.

$$kx+2-2x=k$$

Suma kx a -2x.

$$\left(k-2\right)x+2=k$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$\left(k-2\right)x=k-2$$

Divide ambos lados entre k-2.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en y=kx+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=k+2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=k+2,x=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta kx en ambos lados.

$$y-kx=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=k$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-k\right)}&-\frac{-k}{-2-\left(-k\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-k\right)}&\frac{1}{-2-\left(-k\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{k-2}&\frac{k}{k-2}\\-\frac{1}{k-2}&\frac{1}{k-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{2}{k-2}\right)\times 2+\frac{k}{k-2}k\\\left(-\frac{1}{k-2}\right)\times 2+\frac{1}{k-2}k\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k+2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=k+2,x=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta kx en ambos lados.

$$y-kx=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=k$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Resta y-2x=k de y+\left(-k\right)x=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y+\left(-k\right)x+2x=2-k$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\left(-k\right)x+2x=2-k$$

Suma -kx a 2x.

$$\left(2-k\right)x=2-k$$

Divide ambos lados entre -k+2.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en y-2x=k. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-2=k$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$y=k+2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=k+2,x=1$$

Resolver x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=1\text{, }y=k+2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{y-2}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&k=2\end{matrix}\right.$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta kx en ambos lados.

$$y-kx=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=k$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+\left(-k\right)x=2$$

Suma kx en ambos lados da ecuación.

$$y=kx+2$$

Substitúe y por kx+2 na outra ecuación, y-2x=k.

$$kx+2-2x=k$$

Suma kx a -2x.

$$\left(k-2\right)x+2=k$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$\left(k-2\right)x=k-2$$

Divide ambos lados entre k-2.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en y=kx+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=k+2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=k+2,x=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta kx en ambos lados.

$$y-kx=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=k$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-k\right)}&-\frac{-k}{-2-\left(-k\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-k\right)}&\frac{1}{-2-\left(-k\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{k-2}&\frac{k}{k-2}\\-\frac{1}{k-2}&\frac{1}{k-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{2}{k-2}\right)\times 2+\frac{k}{k-2}k\\\left(-\frac{1}{k-2}\right)\times 2+\frac{1}{k-2}k\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k+2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=k+2,x=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta kx en ambos lados.

$$y-kx=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=k$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Resta y-2x=k de y+\left(-k\right)x=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y+\left(-k\right)x+2x=2-k$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\left(-k\right)x+2x=2-k$$

Suma -kx a 2x.

$$\left(2-k\right)x=2-k$$

Divide ambos lados entre -k+2.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en y-2x=k. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-2=k$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$y=k+2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=k+2,x=1$$