Resolver {l}{y=9-2x}{3x+2y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 9 - 2 x } \\ { 3 x + 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=9$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+2x=9$$

Resta 2x en ambos lados da ecuación.

$$y=-2x+9$$

Substitúe y por -2x+9 na outra ecuación, 2y+3x=16.

$$2\left(-2x+9\right)+3x=16$$

Multiplica 2 por -2x+9.

$$-4x+18+3x=16$$

Suma -4x a 3x.

$$-x+18=16$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-2$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y=-2x+9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-2\times 2+9$$

Multiplica -2 por 2.

$$y=-4+9$$

Suma 9 a -4.

$$y=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=5,x=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=9$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{1}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 9+2\times 16\\2\times 9-16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=5,x=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=9$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

Para que y e 2y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2y+2\times 2x=2\times 9,2y+3x=16$$

Simplifica.

$$2y+4x=18,2y+3x=16$$

Resta 2y+3x=16 de 2y+4x=18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2y-2y+4x-3x=18-16$$

Suma 2y a -2y. 2y e -2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4x-3x=18-16$$

Suma 4x a -3x.

$$x=18-16$$

Suma 18 a -16.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en 2y+3x=16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2y+3\times 2=16$$

Multiplica 3 por 2.

$$2y+6=16$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$2y=10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=5,x=2$$