Resolver {l}{y=5+x}{5x-2y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 5 + x } \\ { 5 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=4$$

$$y=9$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-x=5,-2y+5x=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-x=5$$

Suma x en ambos lados da ecuación.

$$y=x+5$$

Substitúe y por x+5 na outra ecuación, -2y+5x=2.

$$-2\left(x+5\right)+5x=2$$

Multiplica -2 por x+5.

$$-2x-10+5x=2$$

Suma -2x a 5x.

$$3x-10=2$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$3x=12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en y=x+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=4+5$$

Suma 5 a 4.

$$y=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=9,x=4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-x=5,-2y+5x=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\times 5+\frac{1}{3}\times 2\\\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=9,x=4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-x=5,-2y+5x=2$$

Para que y e -2y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-2y-2\left(-1\right)x=-2\times 5,-2y+5x=2$$

Simplifica.

$$-2y+2x=-10,-2y+5x=2$$

Resta -2y+5x=2 de -2y+2x=-10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2y+2y+2x-5x=-10-2$$

Suma -2y a 2y. -2y e 2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x-5x=-10-2$$

Suma 2x a -5x.

$$-3x=-10-2$$

Suma -10 a -2.

$$-3x=-12$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en -2y+5x=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-2y+5\times 4=2$$

Multiplica 5 por 4.

$$-2y+20=2$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=-18$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=9,x=4$$