Resolver {l}{y=4x+5}{y=8x+9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { y = 8 x + 9 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-1$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 8x en ambos lados.

$$y-8x=9$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-4x=5$$

Suma 4x en ambos lados da ecuación.

$$y=4x+5$$

Substitúe y por 4x+5 na outra ecuación, y-8x=9.

$$4x+5-8x=9$$

Suma 4x a -8x.

$$-4x+5=9$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=4$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en y=4x+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=4\left(-1\right)+5$$

Multiplica 4 por -1.

$$y=-4+5$$

Suma 5 a -4.

$$y=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=1,x=-1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 8x en ambos lados.

$$y-8x=9$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-8-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-8-\left(-4\right)}&\frac{1}{-8-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5-9\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=1,x=-1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 8x en ambos lados.

$$y-8x=9$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

Resta y-8x=9 de y-4x=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-4x+8x=5-9$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4x+8x=5-9$$

Suma -4x a 8x.

$$4x=5-9$$

Suma 5 a -9.

$$4x=-4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en y-8x=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-8\left(-1\right)=9$$

Multiplica -8 por -1.

$$y+8=9$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$y=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=1,x=-1$$