Resolver {l}{y=4x+5}{4x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-4x=5$$

Suma 4x en ambos lados da ecuación.

$$y=4x+5$$

Substitúe y por 4x+5 na outra ecuación, -3y+4x=3.

$$-3\left(4x+5\right)+4x=3$$

Multiplica -3 por 4x+5.

$$-12x-15+4x=3$$

Suma -12x a 4x.

$$-8x-15=3$$

Suma 15 en ambos lados da ecuación.

$$-8x=18$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=-\frac{9}{4}$$

Substitúe x por -\frac{9}{4} en y=4x+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=4\left(-\frac{9}{4}\right)+5$$

Multiplica 4 por -\frac{9}{4}.

$$y=-9+5$$

Suma 5 a -9.

$$y=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

Para que y e -3y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-3y-3\left(-4\right)x=-3\times 5,-3y+4x=3$$

Simplifica.

$$-3y+12x=-15,-3y+4x=3$$

Resta -3y+4x=3 de -3y+12x=-15 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3y+3y+12x-4x=-15-3$$

Suma -3y a 3y. -3y e 3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12x-4x=-15-3$$

Suma 12x a -4x.

$$8x=-15-3$$

Suma -15 a -3.

$$8x=-18$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=-\frac{9}{4}$$

Substitúe x por -\frac{9}{4} en -3y+4x=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-3y+4\left(-\frac{9}{4}\right)=3$$

Multiplica 4 por -\frac{9}{4}.

$$-3y-9=3$$

Suma 9 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=12$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$