Resolver {l}{y=3x-5}{y=x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x - 5 } \\ { y = x + 3 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=4$$

$$y=7$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-3x=-5,y-x=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-3x=-5$$

Suma 3x en ambos lados da ecuación.

$$y=3x-5$$

Substitúe y por 3x-5 na outra ecuación, y-x=3.

$$3x-5-x=3$$

Suma 3x a -x.

$$2x-5=3$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$2x=8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en y=3x-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=3\times 4-5$$

Multiplica 3 por 4.

$$y=12-5$$

Suma -5 a 12.

$$y=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=7,x=4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-3x=-5,y-x=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{3}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=7,x=4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-3x=-5,y-x=3$$

Resta y-x=3 de y-3x=-5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-3x+x=-5-3$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3x+x=-5-3$$

Suma -3x a x.

$$-2x=-5-3$$

Suma -5 a -3.

$$-2x=-8$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en y-x=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-4=3$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$y=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=7,x=4$$