Resolver {l}{y=3x}{x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x } \\ { x + y = 16 } \end{array} \right\}$$

Resolver y, x

$$x=4$$

$$y=12$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-3x=0$$

Suma 3x en ambos lados da ecuación.

$$y=3x$$

Substitúe y por 3x na outra ecuación, y+x=16.

$$3x+x=16$$

Suma 3x a x.

$$4x=16$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en y=3x. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=3\times 4$$

Multiplica 3 por 4.

$$y=12$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=12,x=4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{4}\times 16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=12,x=4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Resta y+x=16 de y-3x=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-3x-x=-16$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3x-x=-16$$

Suma -3x a -x.

$$-4x=-16$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en y+x=16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+4=16$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$y=12$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=12,x=4$$