Resolver {l}{y=2x-5}{y=-4x+7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x - 5 } \\ { y = - 4 x + 7 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=2$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=-5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 4x en ambos lados.

$$y+4x=7$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-2x=-5,y+4x=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-2x=-5$$

Suma 2x en ambos lados da ecuación.

$$y=2x-5$$

Substitúe y por 2x-5 na outra ecuación, y+4x=7.

$$2x-5+4x=7$$

Suma 2x a 4x.

$$6x-5=7$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$6x=12$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y=2x-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=2\times 2-5$$

Multiplica 2 por 2.

$$y=4-5$$

Suma -5 a 4.

$$y=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-1,x=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=-5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 4x en ambos lados.

$$y+4x=7$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-2x=-5,y+4x=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-2\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-5\right)+\frac{1}{3}\times 7\\-\frac{1}{6}\left(-5\right)+\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-1,x=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=-5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 4x en ambos lados.

$$y+4x=7$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-2x=-5,y+4x=7$$

Resta y+4x=7 de y-2x=-5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-2x-4x=-5-7$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2x-4x=-5-7$$

Suma -2x a -4x.

$$-6x=-5-7$$

Suma -5 a -7.

$$-6x=-12$$

Divide ambos lados entre -6.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y+4x=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+4\times 2=7$$

Multiplica 4 por 2.

$$y+8=7$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$y=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-1,x=2$$