Resolver {l}{y=-x+2}{y=3x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - x + 2 } \\ { y = 3 x - 4 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-4$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+x=2,y-3x=-4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+x=2$$

Resta x en ambos lados da ecuación.

$$y=-x+2$$

Substitúe y por -x+2 na outra ecuación, y-3x=-4.

$$-x+2-3x=-4$$

Suma -x a -3x.

$$-4x+2=-4$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-6$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Substitúe x por \frac{3}{2} en y=-x+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\frac{3}{2}+2$$

Suma 2 a -\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{1}{2},x=\frac{3}{2}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-4$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+x=2,y-3x=-4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 2+\frac{1}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{4}\times 2-\frac{1}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=\frac{1}{2},x=\frac{3}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-4$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+x=2,y-3x=-4$$

Resta y-3x=-4 de y+x=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y+x+3x=2+4$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x+3x=2+4$$

Suma x a 3x.

$$4x=2+4$$

Suma 2 a 4.

$$4x=6$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Substitúe x por \frac{3}{2} en y-3x=-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-3\times \frac{3}{2}=-4$$

Multiplica -3 por \frac{3}{2}.

$$y-\frac{9}{2}=-4$$

Suma \frac{9}{2} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{1}{2},x=\frac{3}{2}$$