Resolver {l}{y=-2x+1}{y=4x-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 x + 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=1$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=-5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+2x=1$$

Resta 2x en ambos lados da ecuación.

$$y=-2x+1$$

Substitúe y por -2x+1 na outra ecuación, y-4x=-5.

$$-2x+1-4x=-5$$

Suma -2x a -4x.

$$-6x+1=-5$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-6x=-6$$

Divide ambos lados entre -6.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en y=-2x+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-2+1$$

Suma 1 a -2.

$$y=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-1,x=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=-5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-2}&-\frac{2}{-4-2}\\-\frac{1}{-4-2}&\frac{1}{-4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-1,x=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=-5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

Resta y-4x=-5 de y+2x=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y+2x+4x=1+5$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x+4x=1+5$$

Suma 2x a 4x.

$$6x=1+5$$

Suma 1 a 5.

$$6x=6$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en y-4x=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-4=-5$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$y=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-1,x=1$$