Resolver {l}{y=-4/6x-5}{8x+5y=-45}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 4 } { 6 } x - 5 } \\ { 8 x + 5 y = - 45 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

$$y = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Reduce a fracción \frac{4}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Substitúe y por -\frac{2x}{3}-5 na outra ecuación, 5y+8x=-45.

$$5\left(-\frac{2}{3}x-5\right)+8x=-45$$

Multiplica 5 por -\frac{2x}{3}-5.

$$-\frac{10}{3}x-25+8x=-45$$

Suma -\frac{10x}{3} a 8x.

$$\frac{14}{3}x-25=-45$$

Suma 25 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{14}{3}x=-20$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{14}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-\frac{30}{7}$$

Substitúe x por -\frac{30}{7} en y=-\frac{2}{3}x-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\frac{2}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)-5$$

Multiplica -\frac{2}{3} por -\frac{30}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=\frac{20}{7}-5$$

Suma -5 a \frac{20}{7}.

$$y=-\frac{15}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Reduce a fracción \frac{4}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Engadir \frac{2}{3}x en ambos lados.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{2}{3}\times 5}&-\frac{\frac{2}{3}}{8-\frac{2}{3}\times 5}\\-\frac{5}{8-\frac{2}{3}\times 5}&\frac{1}{8-\frac{2}{3}\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{14}\left(-5\right)+\frac{3}{14}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Reduce a fracción \frac{4}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Engadir \frac{2}{3}x en ambos lados.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

Para que y e 5y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$5y+5\times \frac{2}{3}x=5\left(-5\right),5y+8x=-45$$

Simplifica.

$$5y+\frac{10}{3}x=-25,5y+8x=-45$$

Resta 5y+8x=-45 de 5y+\frac{10}{3}x=-25 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5y-5y+\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

Suma 5y a -5y. 5y e -5y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

Suma \frac{10x}{3} a -8x.

$$-\frac{14}{3}x=-25+45$$

Suma -25 a 45.

$$-\frac{14}{3}x=20$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{14}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-\frac{30}{7}$$

Substitúe x por -\frac{30}{7} en 5y+8x=-45. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$5y+8\left(-\frac{30}{7}\right)=-45$$

Multiplica 8 por -\frac{30}{7}.

$$5y-\frac{240}{7}=-45$$

Suma \frac{240}{7} en ambos lados da ecuación.

$$5y=-\frac{75}{7}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=-\frac{15}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$