Resolver {l}{y=-3/4x+3/4}{y=4/3x+11/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 3 } { 4 } } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x + \frac { 11 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir \frac{3}{4}x en ambos lados.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{4}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

Resta \frac{3x}{4} en ambos lados da ecuación.

$$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}$$

Substitúe y por \frac{-3x+3}{4} na outra ecuación, y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Suma -\frac{3x}{4} a -\frac{4x}{3}.

$$-\frac{25}{12}x+\frac{3}{4}=\frac{11}{3}$$

Resta \frac{3}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{25}{12}x=\frac{35}{12}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{25}{12}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Substitúe x por -\frac{7}{5} en y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\frac{3}{4}\left(-\frac{7}{5}\right)+\frac{3}{4}$$

Multiplica -\frac{3}{4} por -\frac{7}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=\frac{21}{20}+\frac{3}{4}$$

Suma \frac{3}{4} a \frac{21}{20} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=\frac{9}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir \frac{3}{4}x en ambos lados.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{4}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}&-\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{25}&\frac{9}{25}\\\frac{12}{25}&-\frac{12}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{25}\times \frac{3}{4}+\frac{9}{25}\times \frac{11}{3}\\\frac{12}{25}\times \frac{3}{4}-\frac{12}{25}\times \frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir \frac{3}{4}x en ambos lados.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{4}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Resta y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3} de y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y+\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

Suma \frac{3x}{4} a \frac{4x}{3}.

$$\frac{25}{12}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

Suma \frac{3}{4} a -\frac{11}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$\frac{25}{12}x=-\frac{35}{12}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{25}{12}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Substitúe x por -\frac{7}{5} en y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-\frac{4}{3}\left(-\frac{7}{5}\right)=\frac{11}{3}$$

Multiplica -\frac{4}{3} por -\frac{7}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y+\frac{28}{15}=\frac{11}{3}$$

Resta \frac{28}{15} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{9}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$