Resolver {l}{y=5/2x+1}{y=5x+17}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 5 } { 2 } x + 1 } \\ { y = 5 x + 17 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = -\frac{32}{5} = -6\frac{2}{5} = -6.4$$

$$y=-15$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{5}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=17$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-\frac{5}{2}x=1,y-5x=17$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

Suma \frac{5x}{2} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{5}{2}x+1$$

Substitúe y por \frac{5x}{2}+1 na outra ecuación, y-5x=17.

$$\frac{5}{2}x+1-5x=17$$

Suma \frac{5x}{2} a -5x.

$$-\frac{5}{2}x+1=17$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{5}{2}x=16$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-\frac{32}{5}$$

Substitúe x por -\frac{32}{5} en y=\frac{5}{2}x+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{5}{2}\left(-\frac{32}{5}\right)+1$$

Multiplica \frac{5}{2} por -\frac{32}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=-16+1$$

Suma 1 a -16.

$$y=-15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-15,x=-\frac{32}{5}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{5}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=17$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-\frac{5}{2}x=1,y-5x=17$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}&-\frac{-\frac{5}{2}}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}\\-\frac{1}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}&\frac{1}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{2}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-17\\\frac{2}{5}-\frac{2}{5}\times 17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-\frac{32}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-15,x=-\frac{32}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{5}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=17$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-\frac{5}{2}x=1,y-5x=17$$

Resta y-5x=17 de y-\frac{5}{2}x=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-\frac{5}{2}x+5x=1-17$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-\frac{5}{2}x+5x=1-17$$

Suma -\frac{5x}{2} a 5x.

$$\frac{5}{2}x=1-17$$

Suma 1 a -17.

$$\frac{5}{2}x=-16$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-\frac{32}{5}$$

Substitúe x por -\frac{32}{5} en y-5x=17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-5\left(-\frac{32}{5}\right)=17$$

Multiplica -5 por -\frac{32}{5}.

$$y+32=17$$

Resta 32 en ambos lados da ecuación.

$$y=-15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-15,x=-\frac{32}{5}$$