Resolver {l}{y=-4/5x-9}{y=-8x/3-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { - 4 } { 5 } x - 9 } \\ { y = - \frac { 8 x } { 3 } - 15 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = -\frac{45}{14} = -3\frac{3}{14} \approx -3.214285714$$

$$y = -\frac{45}{7} = -6\frac{3}{7} \approx -6.428571429$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. A fracción \frac{-4}{5} pode volver escribirse como -\frac{4}{5} extraendo o signo negativo.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Substitúe y por -\frac{4x}{5}-9 na outra ecuación, 3y+8x=-45.

$$3\left(-\frac{4}{5}x-9\right)+8x=-45$$

Multiplica 3 por -\frac{4x}{5}-9.

$$-\frac{12}{5}x-27+8x=-45$$

Suma -\frac{12x}{5} a 8x.

$$\frac{28}{5}x-27=-45$$

Suma 27 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{28}{5}x=-18$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{28}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-\frac{45}{14}$$

Substitúe x por -\frac{45}{14} en y=-\frac{4}{5}x-9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{45}{14}\right)-9$$

Multiplica -\frac{4}{5} por -\frac{45}{14} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=\frac{18}{7}-9$$

Suma -9 a \frac{18}{7}.

$$y=-\frac{45}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. A fracción \frac{-4}{5} pode volver escribirse como -\frac{4}{5} extraendo o signo negativo.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Engadir \frac{4}{5}x en ambos lados.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir \frac{8x}{3} en ambos lados.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$3y+8x=-45$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{4}{5}\times 3}&-\frac{\frac{4}{5}}{8-\frac{4}{5}\times 3}\\-\frac{3}{8-\frac{4}{5}\times 3}&\frac{1}{8-\frac{4}{5}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{28}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\left(-9\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{28}\left(-9\right)+\frac{5}{28}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{45}{7}\\-\frac{45}{14}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. A fracción \frac{-4}{5} pode volver escribirse como -\frac{4}{5} extraendo o signo negativo.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Engadir \frac{4}{5}x en ambos lados.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir \frac{8x}{3} en ambos lados.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$3y+8x=-45$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

Para que y e 3y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3y+3\times \frac{4}{5}x=3\left(-9\right),3y+8x=-45$$

Simplifica.

$$3y+\frac{12}{5}x=-27,3y+8x=-45$$

Resta 3y+8x=-45 de 3y+\frac{12}{5}x=-27 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3y-3y+\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

Suma 3y a -3y. 3y e -3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

Suma \frac{12x}{5} a -8x.

$$-\frac{28}{5}x=-27+45$$

Suma -27 a 45.

$$-\frac{28}{5}x=18$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{28}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-\frac{45}{14}$$

Substitúe x por -\frac{45}{14} en 3y+8x=-45. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$3y+8\left(-\frac{45}{14}\right)=-45$$

Multiplica 8 por -\frac{45}{14}.

$$3y-\frac{180}{7}=-45$$

Suma \frac{180}{7} en ambos lados da ecuación.

$$3y=-\frac{135}{7}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=-\frac{45}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$