Resolver {l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x_1, x_2

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. A variable x_{1} non pode ser igual a 0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Resta 2x_{1} en ambos lados.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x_{1} mediante o illamento de x_{1} no lado esquerdo do signo igual.

$$x_{1}+x_{2}=97$$

Resta x_{2} en ambos lados da ecuación.

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

Substitúe x_{1} por -x_{2}+97 na outra ecuación, -2x_{1}+x_{2}=0.

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

Multiplica -2 por -x_{2}+97.

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

Suma 2x_{2} a x_{2}.

$$3x_{2}-194=0$$

Suma 194 en ambos lados da ecuación.

$$3x_{2}=194$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

Substitúe x_{2} por \frac{194}{3} en x_{1}=-x_{2}+97. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x_{1} directamente.

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

Suma 97 a -\frac{194}{3}.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. A variable x_{1} non pode ser igual a 0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Resta 2x_{1} en ambos lados.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x_{1} e x_{2}.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. A variable x_{1} non pode ser igual a 0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Resta 2x_{1} en ambos lados.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Resta -2x_{1}+x_{2}=0 de x_{1}+x_{2}=97 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

Suma x_{2} a -x_{2}. x_{2} e -x_{2} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

Suma x_{1} a 2x_{1}.

$$3x_{1}=97$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

Substitúe x_{1} por \frac{97}{3} en -2x_{1}+x_{2}=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x_{2} directamente.

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

Multiplica -2 por \frac{97}{3}.

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

Suma \frac{194}{3} en ambos lados da ecuación.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$