Resolver {l}{x-y=60}{2x=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 60 } \\ { 2 x = y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-60$$

$$y=-120$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$2x-y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=60,2x-y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=60$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y+60$$

Substitúe x por y+60 na outra ecuación, 2x-y=0.

$$2\left(y+60\right)-y=0$$

Multiplica 2 por y+60.

$$2y+120-y=0$$

Suma 2y a -y.

$$y+120=0$$

Resta 120 en ambos lados da ecuación.

$$y=-120$$

Substitúe y por -120 en x=y+60. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-120+60$$

Suma 60 a -120.

$$x=-60$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-60,y=-120$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$2x-y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=60,2x-y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-60\\-2\times 60\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-60\\-120\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-60,y=-120$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$2x-y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=60,2x-y=0$$

Resta 2x-y=0 de x-y=60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-2x-y+y=60$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x-2x=60$$

Suma x a -2x.

$$-x=60$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-60$$

Substitúe x por -60 en 2x-y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2\left(-60\right)-y=0$$

Multiplica 2 por -60.

$$-120-y=0$$

Suma 120 en ambos lados da ecuación.

$$-y=120$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-120$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-60,y=-120$$