Resolver {l}{x-y=2x}{2x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 x } \\ { 2 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=16$$

$$y=-16$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$x-y-2x=0$$

Combina x e -2x para obter -x.

$$-x-y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x-y=0,2x+y=16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x-y=0$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$-x=y$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-y$$

Substitúe x por -y na outra ecuación, 2x+y=16.

$$2\left(-1\right)y+y=16$$

Multiplica 2 por -y.

$$-2y+y=16$$

Suma -2y a y.

$$-y=16$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-16$$

Substitúe y por -16 en x=-y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\left(-16\right)$$

Multiplica -1 por -16.

$$x=16$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=16,y=-16$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$x-y-2x=0$$

Combina x e -2x para obter -x.

$$-x-y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x-y=0,2x+y=16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-16\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=16,y=-16$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$x-y-2x=0$$

Combina x e -2x para obter -x.

$$-x-y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x-y=0,2x+y=16$$

Para que -x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-1\right)y=0,-2x-y=-16$$

Simplifica.

$$-2x-2y=0,-2x-y=-16$$

Resta -2x-y=-16 de -2x-2y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x-2y+y=16$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y+y=16$$

Suma -2y a y.

$$-y=16$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-16$$

Substitúe y por -16 en 2x+y=16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-16=16$$

Suma 16 en ambos lados da ecuación.

$$2x=32$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=16$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=16,y=-16$$