Resolver {l}{x-y=2}{x+1=2(y+1)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 } \\ { x + 1 = 2 ( y + 1 ) } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y+1.

$$x+1=2y+2$$

Resta 2y en ambos lados.

$$x+1-2y=2$$

Resta 1 en ambos lados.

$$x-2y=2-1$$

Resta 1 de 2 para obter 1.

$$x-2y=1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=2,x-2y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=2$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y+2$$

Substitúe x por y+2 na outra ecuación, x-2y=1.

$$y+2-2y=1$$

Suma y a -2y.

$$-y+2=1$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-y=-1$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=1+2$$

Suma 2 a 1.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y+1.

$$x+1=2y+2$$

Resta 2y en ambos lados.

$$x+1-2y=2$$

Resta 1 en ambos lados.

$$x-2y=2-1$$

Resta 1 de 2 para obter 1.

$$x-2y=1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=2,x-2y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&\frac{1}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2-1\\2-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y+1.

$$x+1=2y+2$$

Resta 2y en ambos lados.

$$x+1-2y=2$$

Resta 1 en ambos lados.

$$x-2y=2-1$$

Resta 1 de 2 para obter 1.

$$x-2y=1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=2,x-2y=1$$

Resta x-2y=1 de x-y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x-y+2y=2-1$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y+2y=2-1$$

Suma -y a 2y.

$$y=2-1$$

Suma 2 a -1.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x-2y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-2=1$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=1$$