Resolver {l}{x-y=13}{x=6y-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 13 } \\ { x = 6 y - 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=17$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 6y en ambos lados.

$$x-6y=-7$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=13,x-6y=-7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=13$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y+13$$

Substitúe x por y+13 na outra ecuación, x-6y=-7.

$$y+13-6y=-7$$

Suma y a -6y.

$$-5y+13=-7$$

Resta 13 en ambos lados da ecuación.

$$-5y=-20$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=y+13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=4+13$$

Suma 13 a 4.

$$x=17$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=17,y=4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 6y en ambos lados.

$$x-6y=-7$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=13,x-6y=-7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-6-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-6-\left(-1\right)}&\frac{1}{-6-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\times 13-\frac{1}{5}\left(-7\right)\\\frac{1}{5}\times 13-\frac{1}{5}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=17,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 6y en ambos lados.

$$x-6y=-7$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=13,x-6y=-7$$

Resta x-6y=-7 de x-y=13 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x-y+6y=13+7$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y+6y=13+7$$

Suma -y a 6y.

$$5y=13+7$$

Suma 13 a 7.

$$5y=20$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x-6y=-7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-6\times 4=-7$$

Multiplica -6 por 4.

$$x-24=-7$$

Suma 24 en ambos lados da ecuación.

$$x=17$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=17,y=4$$