Resolver {l}{x-y=10}{2x+(2y+1/2)=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + ( 2 y + \frac { 1 } { 2 } ) = 200 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{439}{8} = 54\frac{7}{8} = 54.875$$

$$y = \frac{359}{8} = 44\frac{7}{8} = 44.875$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=10$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y+10$$

Substitúe x por y+10 na outra ecuación, 2x+2y+\frac{1}{2}=200.

$$2\left(y+10\right)+2y+\frac{1}{2}=200$$

Multiplica 2 por y+10.

$$2y+20+2y+\frac{1}{2}=200$$

Suma 2y a 2y.

$$4y+20+\frac{1}{2}=200$$

Suma 20 a \frac{1}{2}.

$$4y+\frac{41}{2}=200$$

Resta \frac{41}{2} en ambos lados da ecuación.

$$4y=\frac{359}{2}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=\frac{359}{8}$$

Substitúe y por \frac{359}{8} en x=y+10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{359}{8}+10$$

Suma 10 a \frac{359}{8}.

$$x=\frac{439}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\\-\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{439}{8}\\\frac{359}{8}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Simplifica.

$$2x-2y=20,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Resta 2x+2y+\frac{1}{2}=200 de 2x-2y=20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

Suma -2y a -2y.

$$-4y-\frac{1}{2}=20-200$$

Suma 20 a -200.

$$-4y-\frac{1}{2}=-180$$

Suma \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-4y=-\frac{359}{2}$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=\frac{359}{8}$$

Substitúe y por \frac{359}{8} en 2x+2y+\frac{1}{2}=200. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+2\times \frac{359}{8}+\frac{1}{2}=200$$

Multiplica 2 por \frac{359}{8}.

$$2x+\frac{359}{4}+\frac{1}{2}=200$$

Suma \frac{359}{4} a \frac{1}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$2x+\frac{361}{4}=200$$

Resta \frac{361}{4} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{439}{4}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{439}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$