Resolver {l}{x-7y=6}{5x+3y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 7 y = 6 } \\ { 5 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{16}{19}\approx 0.842105263$$

$$y=-\frac{14}{19}\approx -0.736842105$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-7y=6$$

Suma 7y en ambos lados da ecuación.

$$x=7y+6$$

Substitúe x por 7y+6 na outra ecuación, 5x+3y=2.

$$5\left(7y+6\right)+3y=2$$

Multiplica 5 por 7y+6.

$$35y+30+3y=2$$

Suma 35y a 3y.

$$38y+30=2$$

Resta 30 en ambos lados da ecuación.

$$38y=-28$$

Divide ambos lados entre 38.

$$y=-\frac{14}{19}$$

Substitúe y por -\frac{14}{19} en x=7y+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=7\left(-\frac{14}{19}\right)+6$$

Multiplica 7 por -\frac{14}{19}.

$$x=-\frac{98}{19}+6$$

Suma 6 a -\frac{98}{19}.

$$x=\frac{16}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{3-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-7\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{7}{38}\\-\frac{5}{38}&\frac{1}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\times 6+\frac{7}{38}\times 2\\-\frac{5}{38}\times 6+\frac{1}{38}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{19}\\-\frac{14}{19}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

Para que x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$5x+5\left(-7\right)y=5\times 6,5x+3y=2$$

Simplifica.

$$5x-35y=30,5x+3y=2$$

Resta 5x+3y=2 de 5x-35y=30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x-35y-3y=30-2$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-35y-3y=30-2$$

Suma -35y a -3y.

$$-38y=30-2$$

Suma 30 a -2.

$$-38y=28$$

Divide ambos lados entre -38.

$$y=-\frac{14}{19}$$

Substitúe y por -\frac{14}{19} en 5x+3y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+3\left(-\frac{14}{19}\right)=2$$

Multiplica 3 por -\frac{14}{19}.

$$5x-\frac{42}{19}=2$$

Suma \frac{42}{19} en ambos lados da ecuación.

$$5x=\frac{80}{19}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{16}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$