Resolver {l}{x-6y=3}{2x-18y=-6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 6 y = 3 } \\ { 2 x - 18 y = - 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=15$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-6y=3,2x-18y=-6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-6y=3$$

Suma 6y en ambos lados da ecuación.

$$x=6y+3$$

Substitúe x por 6y+3 na outra ecuación, 2x-18y=-6.

$$2\left(6y+3\right)-18y=-6$$

Multiplica 2 por 6y+3.

$$12y+6-18y=-6$$

Suma 12y a -18y.

$$-6y+6=-6$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-6y=-12$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=6y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=6\times 2+3$$

Multiplica 6 por 2.

$$x=12+3$$

Suma 3 a 12.

$$x=15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=15,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-6y=3,2x-18y=-6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\2&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-6\\2&-18\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\2&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{-18-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{-18-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{-18-\left(-6\times 2\right)}&\frac{1}{-18-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 3-\left(-6\right)\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{6}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=15,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-6y=3,2x-18y=-6$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2\left(-6\right)y=2\times 3,2x-18y=-6$$

Simplifica.

$$2x-12y=6,2x-18y=-6$$

Resta 2x-18y=-6 de 2x-12y=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x-12y+18y=6+6$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-12y+18y=6+6$$

Suma -12y a 18y.

$$6y=6+6$$

Suma 6 a 6.

$$6y=12$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 2x-18y=-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-18\times 2=-6$$

Multiplica -18 por 2.

$$2x-36=-6$$

Suma 36 en ambos lados da ecuación.

$$2x=30$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=15,y=2$$