Resolver {l}{x-4y=5}{-2x-y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 4 y = 5 } \\ { - 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-4y=5,-2x-y=-4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-4y=5$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$x=4y+5$$

Substitúe x por 4y+5 na outra ecuación, -2x-y=-4.

$$-2\left(4y+5\right)-y=-4$$

Multiplica -2 por 4y+5.

$$-8y-10-y=-4$$

Suma -8y a -y.

$$-9y-10=-4$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$-9y=6$$

Divide ambos lados entre -9.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Substitúe y por -\frac{2}{3} en x=4y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=4\left(-\frac{2}{3}\right)+5$$

Multiplica 4 por -\frac{2}{3}.

$$x=-\frac{8}{3}+5$$

Suma 5 a -\frac{8}{3}.

$$x=\frac{7}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{2}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-4y=5,-2x-y=-4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}&-\frac{-4}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 5-\frac{4}{9}\left(-4\right)\\-\frac{2}{9}\times 5-\frac{1}{9}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{2}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-4y=5,-2x-y=-4$$

Para que x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-2x-2\left(-4\right)y=-2\times 5,-2x-y=-4$$

Simplifica.

$$-2x+8y=-10,-2x-y=-4$$

Resta -2x-y=-4 de -2x+8y=-10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x+8y+y=-10+4$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y+y=-10+4$$

Suma 8y a y.

$$9y=-10+4$$

Suma -10 a 4.

$$9y=-6$$

Divide ambos lados entre 9.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Substitúe y por -\frac{2}{3} en -2x-y=-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x-\left(-\frac{2}{3}\right)=-4$$

Resta \frac{2}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-\frac{14}{3}$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=\frac{7}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{2}{3}$$