Resolver {l}{x-4y=-1}{2x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 4 y = - 1 } \\ { 2 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=7$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-4y=-1,2x+y=16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-4y=-1$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$x=4y-1$$

Substitúe x por 4y-1 na outra ecuación, 2x+y=16.

$$2\left(4y-1\right)+y=16$$

Multiplica 2 por 4y-1.

$$8y-2+y=16$$

Suma 8y a y.

$$9y-2=16$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$9y=18$$

Divide ambos lados entre 9.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=4y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=4\times 2-1$$

Multiplica 4 por 2.

$$x=8-1$$

Suma -1 a 8.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-4y=-1,2x+y=16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{1-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-4\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-1\right)+\frac{4}{9}\times 16\\-\frac{2}{9}\left(-1\right)+\frac{1}{9}\times 16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=7,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-4y=-1,2x+y=16$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2\left(-4\right)y=2\left(-1\right),2x+y=16$$

Simplifica.

$$2x-8y=-2,2x+y=16$$

Resta 2x+y=16 de 2x-8y=-2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x-8y-y=-2-16$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8y-y=-2-16$$

Suma -8y a -y.

$$-9y=-2-16$$

Suma -2 a -16.

$$-9y=-18$$

Divide ambos lados entre -9.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 2x+y=16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+2=16$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$2x=14$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=2$$