Resolver {l}{x-3=y}{x/4-1=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { \frac { x } { 4 } - 1 = y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-3-y=0$$

Engadir 3 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$x-y=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

Engadir 1 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$\frac{x}{4}-y=1$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 4.

$$x-4y=4$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=3,x-4y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=3$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y+3$$

Substitúe x por y+3 na outra ecuación, x-4y=4.

$$y+3-4y=4$$

Suma y a -4y.

$$-3y+3=4$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=1$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Substitúe y por -\frac{1}{3} en x=y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}+3$$

Suma 3 a -\frac{1}{3}.

$$x=\frac{8}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-3-y=0$$

Engadir 3 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$x-y=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

Engadir 1 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$\frac{x}{4}-y=1$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 4.

$$x-4y=4$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=3,x-4y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-1\right)}&\frac{1}{-4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 4\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-3-y=0$$

Engadir 3 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$x-y=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

Engadir 1 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$\frac{x}{4}-y=1$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 4.

$$x-4y=4$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=3,x-4y=4$$

Resta x-4y=4 de x-y=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x-y+4y=3-4$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y+4y=3-4$$

Suma -y a 4y.

$$3y=3-4$$

Suma 3 a -4.

$$3y=-1$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Substitúe y por -\frac{1}{3} en x-4y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-4\left(-\frac{1}{3}\right)=4$$

Multiplica -4 por -\frac{1}{3}.

$$x+\frac{4}{3}=4$$

Resta \frac{4}{3} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{8}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$