Resolver {l}{x-2y=17}{7x-6y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = 17 } \\ { 7 x - 6 y = 47 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=-9$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-2y=17,7x-6y=47$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-2y=17$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=2y+17$$

Substitúe x por 2y+17 na outra ecuación, 7x-6y=47.

$$7\left(2y+17\right)-6y=47$$

Multiplica 7 por 2y+17.

$$14y+119-6y=47$$

Suma 14y a -6y.

$$8y+119=47$$

Resta 119 en ambos lados da ecuación.

$$8y=-72$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=-9$$

Substitúe y por -9 en x=2y+17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2\left(-9\right)+17$$

Multiplica 2 por -9.

$$x=-18+17$$

Suma 17 a -18.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-9$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-2y=17,7x-6y=47$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{-6-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{-6-\left(-2\times 7\right)}&\frac{1}{-6-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{7}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 17+\frac{1}{4}\times 47\\-\frac{7}{8}\times 17+\frac{1}{8}\times 47\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=-9$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-2y=17,7x-6y=47$$

Para que x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$7x+7\left(-2\right)y=7\times 17,7x-6y=47$$

Simplifica.

$$7x-14y=119,7x-6y=47$$

Resta 7x-6y=47 de 7x-14y=119 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$7x-7x-14y+6y=119-47$$

Suma 7x a -7x. 7x e -7x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-14y+6y=119-47$$

Suma -14y a 6y.

$$-8y=119-47$$

Suma 119 a -47.

$$-8y=72$$

Divide ambos lados entre -8.

$$y=-9$$

Substitúe y por -9 en 7x-6y=47. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x-6\left(-9\right)=47$$

Multiplica -6 por -9.

$$7x+54=47$$

Resta 54 en ambos lados da ecuación.

$$7x=-7$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-9$$