Resolver {l}{x-2(3y-1)=-4}{2/3y-(-x-7)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 ( 3 y - 1 ) = - 4 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y - ( - x - 7 ) = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-6$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-2\left(3y-1\right)=-4,-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-2\left(3y-1\right)=-4$$

Multiplica -2 por 3y-1.

$$x-6y+2=-4$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$x-6y=-6$$

Suma 6y en ambos lados da ecuación.

$$x=6y-6$$

Substitúe x por -6+6y na outra ecuación, -\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1.

$$-\left(-\left(6y-6\right)-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

Multiplica -1 por -6+6y.

$$-\left(-6y+6-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

Suma 6 a -7.

$$-\left(-6y-1\right)+\frac{2}{3}y=1$$

Multiplica -1 por -6y-1.

$$6y+1+\frac{2}{3}y=1$$

Suma 6y a \frac{2y}{3}.

$$\frac{20}{3}y+1=1$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{20}{3}y=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{20}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=6y-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-6,y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-2\left(3y-1\right)=-4,-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

Simplifica a primeira ecuación para convertela a forma estándar.

$$x-2\left(3y-1\right)=-4$$

Multiplica -2 por 3y-1.

$$x-6y+2=-4$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$x-6y=-6$$

Simplifica a segunda ecuación para convertela a forma estándar.

$$-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

Multiplica -1 por -x-7.

$$x+7+\frac{2}{3}y=1$$

Resta 7 en ambos lados da ecuación.

$$x+\frac{2}{3}y=-6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{9}{10}\\-\frac{3}{20}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-6\right)+\frac{9}{10}\left(-6\right)\\-\frac{3}{20}\left(-6\right)+\frac{3}{20}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-6,y=0$$