Resolver {l}{x-y+3/2=3x+y+1}{5x+y/2=2x-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { y + 3 } { 2 } = 3 x + y + 1 } \\ { \frac { 5 x + y } { 2 } = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

Para calcular o oposto de y+3, calcula o oposto de cada termo.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

Resta 6x en ambos lados.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

Combina 2x e -6x para obter -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

Resta 2y en ambos lados.

$$-4x-y-3-2y=2$$

Combina -y e -2y para obter -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

Engadir 3 en ambos lados.

$$-4x-3y=2+3$$

Suma 2 e 3 para obter 5.

$$-4x-3y=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$5x+y=4x-2$$

Resta 4x en ambos lados.

$$5x+y-4x=-2$$

Combina 5x e -4x para obter x.

$$x+y=-2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-4x-3y=5$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$-4x=3y+5$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

Multiplica -\frac{1}{4} por 3y+5.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

Substitúe x por \frac{-3y-5}{4} na outra ecuación, x+y=-2.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}+y=-2$$

Suma -\frac{3y}{4} a y.

$$\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}=-2$$

Suma \frac{5}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{3}{4}$$

Multiplica ambos lados por 4.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)-\frac{5}{4}$$

Multiplica -\frac{3}{4} por -3.

$$x=\frac{9-5}{4}$$

Suma -\frac{5}{4} a \frac{9}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

Para calcular o oposto de y+3, calcula o oposto de cada termo.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

Resta 6x en ambos lados.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

Combina 2x e -6x para obter -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

Resta 2y en ambos lados.

$$-4x-y-3-2y=2$$

Combina -y e -2y para obter -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

Engadir 3 en ambos lados.

$$-4x-3y=2+3$$

Suma 2 e 3 para obter 5.

$$-4x-3y=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$5x+y=4x-2$$

Resta 4x en ambos lados.

$$5x+y-4x=-2$$

Combina 5x e -4x para obter x.

$$x+y=-2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-3\left(-2\right)\\5+4\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

Para calcular o oposto de y+3, calcula o oposto de cada termo.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

Resta 6x en ambos lados.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

Combina 2x e -6x para obter -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

Resta 2y en ambos lados.

$$-4x-y-3-2y=2$$

Combina -y e -2y para obter -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

Engadir 3 en ambos lados.

$$-4x-3y=2+3$$

Suma 2 e 3 para obter 5.

$$-4x-3y=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$5x+y=4x-2$$

Resta 4x en ambos lados.

$$5x+y-4x=-2$$

Combina 5x e -4x para obter x.

$$x+y=-2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

Para que -4x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por -4.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=-4\left(-2\right)$$

Simplifica.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=8$$

Resta -4x-4y=8 de -4x-3y=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x+4x-3y+4y=5-8$$

Suma -4x a 4x. -4x e 4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y+4y=5-8$$

Suma -3y a 4y.

$$y=5-8$$

Suma 5 a -8.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x+y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-3=-2$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-3$$