Resolver {l}{x=y+3}{7x-5y=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = y + 3 } \\ { 7 x - 5 y = 19 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-y=3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=3,7x-5y=19$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=3$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y+3$$

Substitúe x por y+3 na outra ecuación, 7x-5y=19.

$$7\left(y+3\right)-5y=19$$

Multiplica 7 por y+3.

$$7y+21-5y=19$$

Suma 7y a -5y.

$$2y+21=19$$

Resta 21 en ambos lados da ecuación.

$$2y=-2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-1+3$$

Suma 3 a -1.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-y=3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=3,7x-5y=19$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-7\right)}&-\frac{-1}{-5-\left(-7\right)}\\-\frac{7}{-5-\left(-7\right)}&\frac{1}{-5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{7}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 19\\-\frac{7}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-y=3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=3,7x-5y=19$$

Para que x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$7x+7\left(-1\right)y=7\times 3,7x-5y=19$$

Simplifica.

$$7x-7y=21,7x-5y=19$$

Resta 7x-5y=19 de 7x-7y=21 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$7x-7x-7y+5y=21-19$$

Suma 7x a -7x. 7x e -7x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-7y+5y=21-19$$

Suma -7y a 5y.

$$-2y=21-19$$

Suma 21 a -19.

$$-2y=2$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 7x-5y=19. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x-5\left(-1\right)=19$$

Multiplica -5 por -1.

$$7x+5=19$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$7x=14$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-1$$