Resolver {l}{x=2y}{y=3x-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 y } \\ { y = 3 x - 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$x-2y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-10$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-2y=0,-3x+y=-10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-2y=0$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=2y$$

Substitúe x por 2y na outra ecuación, -3x+y=-10.

$$-3\times 2y+y=-10$$

Multiplica -3 por 2y.

$$-6y+y=-10$$

Suma -6y a y.

$$-5y=-10$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=2y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2\times 2$$

Multiplica 2 por 2.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$x-2y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-10$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-2y=0,-3x+y=-10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-10\right)\\-\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$x-2y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-10$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-2y=0,-3x+y=-10$$

Para que x e -3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-3x-3\left(-2\right)y=0,-3x+y=-10$$

Simplifica.

$$-3x+6y=0,-3x+y=-10$$

Resta -3x+y=-10 de -3x+6y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3x+3x+6y-y=10$$

Suma -3x a 3x. -3x e 3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y-y=10$$

Suma 6y a -y.

$$5y=10$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en -3x+y=-10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3x+2=-10$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-12$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=2$$