Resolver {l}{x=2y}{5y=3x+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 y } \\ { 5 y = 3 x + 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$x-2y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$5y-3x=1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-2y=0,-3x+5y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-2y=0$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=2y$$

Substitúe x por 2y na outra ecuación, -3x+5y=1.

$$-3\times 2y+5y=1$$

Multiplica -3 por 2y.

$$-6y+5y=1$$

Suma -6y a 5y.

$$-y=1$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=2y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2\left(-1\right)$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$x-2y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$5y-3x=1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-2y=0,-3x+5y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&-2\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$x-2y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$5y-3x=1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-2y=0,-3x+5y=1$$

Para que x e -3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-3x-3\left(-2\right)y=0,-3x+5y=1$$

Simplifica.

$$-3x+6y=0,-3x+5y=1$$

Resta -3x+5y=1 de -3x+6y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3x+3x+6y-5y=-1$$

Suma -3x a 3x. -3x e 3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y-5y=-1$$

Suma 6y a -5y.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en -3x+5y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3x+5\left(-1\right)=1$$

Multiplica 5 por -1.

$$-3x-5=1$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$-3x=6$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=-1$$