Resolver {l}{x=-1/4y+5}{3x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - \frac { 1 } { 4 } y + 5 } \\ { 3 x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=8$$

$$y=-12$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir \frac{1}{4}y en ambos lados.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Resta \frac{y}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{1}{4}y+5$$

Substitúe x por -\frac{y}{4}+5 na outra ecuación, 3x+2y=0.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+5\right)+2y=0$$

Multiplica 3 por -\frac{y}{4}+5.

$$-\frac{3}{4}y+15+2y=0$$

Suma -\frac{3y}{4} a 2y.

$$\frac{5}{4}y+15=0$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{4}y=-15$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-12$$

Substitúe y por -12 en x=-\frac{1}{4}y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-12\right)+5$$

Multiplica -\frac{1}{4} por -12.

$$x=3+5$$

Suma 5 a 3.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=-12$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir \frac{1}{4}y en ambos lados.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\frac{1}{4}\times 3}&-\frac{\frac{1}{4}}{2-\frac{1}{4}\times 3}\\-\frac{3}{2-\frac{1}{4}\times 3}&\frac{1}{2-\frac{1}{4}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\times 5\\-\frac{12}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=8,y=-12$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir \frac{1}{4}y en ambos lados.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3\times \frac{1}{4}y=3\times 5,3x+2y=0$$

Simplifica.

$$3x+\frac{3}{4}y=15,3x+2y=0$$

Resta 3x+2y=0 de 3x+\frac{3}{4}y=15 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+\frac{3}{4}y-2y=15$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{3}{4}y-2y=15$$

Suma \frac{3y}{4} a -2y.

$$-\frac{5}{4}y=15$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-12$$

Substitúe y por -12 en 3x+2y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+2\left(-12\right)=0$$

Multiplica 2 por -12.

$$3x-24=0$$

Suma 24 en ambos lados da ecuación.

$$3x=24$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=-12$$