Resolver {l}{x=3/4y}{y=8/9x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = \frac { 3 } { 4 } y } \\ { y = \frac { 8 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-9$$

$$y=-12$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{3}{4}y en ambos lados.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{8}{9}x en ambos lados.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Suma \frac{3y}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{3}{4}y$$

Substitúe x por \frac{3y}{4} na outra ecuación, -\frac{8}{9}x+y=-4.

$$-\frac{8}{9}\times \frac{3}{4}y+y=-4$$

Multiplica -\frac{8}{9} por \frac{3y}{4}.

$$-\frac{2}{3}y+y=-4$$

Suma -\frac{2y}{3} a y.

$$\frac{1}{3}y=-4$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$y=-12$$

Substitúe y por -12 en x=\frac{3}{4}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

Multiplica \frac{3}{4} por -12.

$$x=-9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-9,y=-12$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{3}{4}y en ambos lados.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{8}{9}x en ambos lados.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{8}{9}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&\frac{9}{4}\\\frac{8}{3}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\left(-4\right)\\3\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-9,y=-12$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{3}{4}y en ambos lados.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{8}{9}x en ambos lados.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Para que x e -\frac{8x}{9} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -\frac{8}{9} e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-\frac{8}{9}x-\frac{8}{9}\left(-\frac{3}{4}\right)y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Simplifica.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Resta -\frac{8}{9}x+y=-4 de -\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y-y=4$$

Suma -\frac{8x}{9} a \frac{8x}{9}. -\frac{8x}{9} e \frac{8x}{9} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{2}{3}y-y=4$$

Suma \frac{2y}{3} a -y.

$$-\frac{1}{3}y=4$$

Multiplica ambos lados por -3.

$$y=-12$$

Substitúe y por -12 en -\frac{8}{9}x+y=-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-\frac{8}{9}x-12=-4$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{8}{9}x=8$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{8}{9}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-9,y=-12$$