Resolver {l}{x+y=a}{x-y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = a } \\ { x - y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{a+3}{2}$$

$$y=\frac{a-3}{2}$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=a,x-y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=a$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+a$$

Substitúe x por -y+a na outra ecuación, x-y=3.

$$-y+a-y=3$$

Suma -y a -y.

$$-2y+a=3$$

Resta a en ambos lados da ecuación.

$$-2y=3-a$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=\frac{a-3}{2}$$

Substitúe y por \frac{-3+a}{2} en x=-y+a. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{a-3}{2}+a$$

Multiplica -1 por \frac{-3+a}{2}.

$$x=\frac{3-a}{2}+a$$

Suma a a \frac{3-a}{2}.

$$x=\frac{a+3}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{a+3}{2},y=\frac{a-3}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=a,x-y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}\times 3\\\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a+3}{2}\\\frac{a-3}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{a+3}{2},y=\frac{a-3}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=a,x-y=3$$

Resta x-y=3 de x+y=a mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x+y+y=a-3$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y+y=a-3$$

Suma y a y.

$$2y=a-3$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=\frac{a-3}{2}$$

Substitúe y por \frac{a-3}{2} en x-y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-\frac{a-3}{2}=3$$

Multiplica -1 por \frac{a-3}{2}.

$$x+\frac{3-a}{2}=3$$

Resta \frac{3-a}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{a+3}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{a+3}{2},y=\frac{a-3}{2}$$