Resolver {l}{x+y=70}{x-2y=100}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 70 } \\ { x - 2 y = 100 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=80$$

$$y=-10$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=70,x-2y=100$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=70$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+70$$

Substitúe x por -y+70 na outra ecuación, x-2y=100.

$$-y+70-2y=100$$

Suma -y a -2y.

$$-3y+70=100$$

Resta 70 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=30$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=-10$$

Substitúe y por -10 en x=-y+70. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\left(-10\right)+70$$

Multiplica -1 por -10.

$$x=10+70$$

Suma 70 a 10.

$$x=80$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=80,y=-10$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=70,x-2y=100$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 70+\frac{1}{3}\times 100\\\frac{1}{3}\times 70-\frac{1}{3}\times 100\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\-10\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=80,y=-10$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=70,x-2y=100$$

Resta x-2y=100 de x+y=70 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x+y+2y=70-100$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y+2y=70-100$$

Suma y a 2y.

$$3y=70-100$$

Suma 70 a -100.

$$3y=-30$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=-10$$

Substitúe y por -10 en x-2y=100. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-2\left(-10\right)=100$$

Multiplica -2 por -10.

$$x+20=100$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$x=80$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=80,y=-10$$