Resolver {l}{x+y=6}{3x-y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 6 } \\ { 3 x - y = - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=6,3x-y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=6$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+6$$

Substitúe x por -y+6 na outra ecuación, 3x-y=-2.

$$3\left(-y+6\right)-y=-2$$

Multiplica 3 por -y+6.

$$-3y+18-y=-2$$

Suma -3y a -y.

$$-4y+18=-2$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$-4y=-20$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-y+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-5+6$$

Suma 6 a -5.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=6,3x-y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\\-\frac{3}{-1-3}&\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\left(-2\right)\\\frac{3}{4}\times 6-\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=6,3x-y=-2$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3y=3\times 6,3x-y=-2$$

Simplifica.

$$3x+3y=18,3x-y=-2$$

Resta 3x-y=-2 de 3x+3y=18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+3y+y=18+2$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y+y=18+2$$

Suma 3y a y.

$$4y=18+2$$

Suma 18 a 2.

$$4y=20$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en 3x-y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-5=-2$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$3x=3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=5$$