Resolver {l}{x+y=5}{2x+3y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 5 } \\ { 2 x + 3 y = 11 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=5,2x+3y=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=5$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+5$$

Substitúe x por -y+5 na outra ecuación, 2x+3y=11.

$$2\left(-y+5\right)+3y=11$$

Multiplica 2 por -y+5.

$$-2y+10+3y=11$$

Suma -2y a 3y.

$$y+10=11$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=-y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-1+5$$

Suma 5 a -1.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=5,2x+3y=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 5-11\\-2\times 5+11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=5,2x+3y=11$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2y=2\times 5,2x+3y=11$$

Simplifica.

$$2x+2y=10,2x+3y=11$$

Resta 2x+3y=11 de 2x+2y=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+2y-3y=10-11$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-3y=10-11$$

Suma 2y a -3y.

$$-y=10-11$$

Suma 10 a -11.

$$-y=-1$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en 2x+3y=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+3=11$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$2x=8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=1$$