Resolver {l}{x+y=45}{18x+120y=6000}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 45 } \\ { 18 x + 120 y = 6000 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{100}{17} = -5\frac{15}{17} \approx -5.882352941$$

$$y = \frac{865}{17} = 50\frac{15}{17} \approx 50.882352941$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=45$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+45$$

Substitúe x por -y+45 na outra ecuación, 18x+120y=6000.

$$18\left(-y+45\right)+120y=6000$$

Multiplica 18 por -y+45.

$$-18y+810+120y=6000$$

Suma -18y a 120y.

$$102y+810=6000$$

Resta 810 en ambos lados da ecuación.

$$102y=5190$$

Divide ambos lados entre 102.

$$y=\frac{865}{17}$$

Substitúe y por \frac{865}{17} en x=-y+45. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{865}{17}+45$$

Suma 45 a -\frac{865}{17}.

$$x=-\frac{100}{17}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{120}{120-18}&-\frac{1}{120-18}\\-\frac{18}{120-18}&\frac{1}{120-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}&-\frac{1}{102}\\-\frac{3}{17}&\frac{1}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}\times 45-\frac{1}{102}\times 6000\\-\frac{3}{17}\times 45+\frac{1}{102}\times 6000\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{100}{17}\\\frac{865}{17}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

Para que x e 18x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 18 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$18x+18y=18\times 45,18x+120y=6000$$

Simplifica.

$$18x+18y=810,18x+120y=6000$$

Resta 18x+120y=6000 de 18x+18y=810 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$18x-18x+18y-120y=810-6000$$

Suma 18x a -18x. 18x e -18x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$18y-120y=810-6000$$

Suma 18y a -120y.

$$-102y=810-6000$$

Suma 810 a -6000.

$$-102y=-5190$$

Divide ambos lados entre -102.

$$y=\frac{865}{17}$$

Substitúe y por \frac{865}{17} en 18x+120y=6000. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$18x+120\times \frac{865}{17}=6000$$

Multiplica 120 por \frac{865}{17}.

$$18x+\frac{103800}{17}=6000$$

Resta \frac{103800}{17} en ambos lados da ecuación.

$$18x=-\frac{1800}{17}$$

Divide ambos lados entre 18.

$$x=-\frac{100}{17}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$