Resolver {l}{x+y=40}{x=1/7y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 40 } \\ { x = \frac { 1 } { 7 } y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=35$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{7}y en ambos lados.

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=40$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+40$$

Substitúe x por -y+40 na outra ecuación, x-\frac{1}{7}y=0.

$$-y+40-\frac{1}{7}y=0$$

Suma -y a -\frac{y}{7}.

$$-\frac{8}{7}y+40=0$$

Resta 40 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{8}{7}y=-40$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{8}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=35$$

Substitúe y por 35 en x=-y+40. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-35+40$$

Suma 40 a -35.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=35$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{7}y en ambos lados.

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{7}}{-\frac{1}{7}-1}&-\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}\\-\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}&\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{7}{8}\\\frac{7}{8}&-\frac{7}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 40\\\frac{7}{8}\times 40\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=35$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{7}y en ambos lados.

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

Resta x-\frac{1}{7}y=0 de x+y=40 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x+y+\frac{1}{7}y=40$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y+\frac{1}{7}y=40$$

Suma y a \frac{y}{7}.

$$\frac{8}{7}y=40$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{8}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=35$$

Substitúe y por 35 en x-\frac{1}{7}y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-\frac{1}{7}\times 35=0$$

Multiplica -\frac{1}{7} por 35.

$$x-5=0$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=35$$