Resolver {l}{x+y=360}{4(x+40)+2(1.5y-60)=1320}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 360 } \\ { 4 ( x + 40 ) + 2 ( 1.5 y - 60 ) = 1320 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=200$$

$$y=160$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=360,4\left(x+40\right)+2\left(1.5y-60\right)=1320$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=360$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+360$$

Substitúe x por -y+360 na outra ecuación, 4\left(x+40\right)+2\left(1.5y-60\right)=1320.

$$4\left(-y+360+40\right)+2\left(1.5y-60\right)=1320$$

Suma 360 a 40.

$$4\left(-y+400\right)+2\left(1.5y-60\right)=1320$$

Multiplica 4 por -y+400.

$$-4y+1600+2\left(1.5y-60\right)=1320$$

Multiplica 2 por \frac{3y}{2}-60.

$$-4y+1600+3y-120=1320$$

Suma -4y a 3y.

$$-y+1600-120=1320$$

Suma 1600 a -120.

$$-y+1480=1320$$

Resta 1480 en ambos lados da ecuación.

$$-y=-160$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=160$$

Substitúe y por 160 en x=-y+360. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-160+360$$

Suma 360 a -160.

$$x=200$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=200,y=160$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=360,4\left(x+40\right)+2\left(1.5y-60\right)=1320$$

Simplifica a segunda ecuación para convertela a forma estándar.

$$4\left(x+40\right)+2\left(1.5y-60\right)=1320$$

Multiplica 4 por x+40.

$$4x+160+2\left(1.5y-60\right)=1320$$

Multiplica 2 por 1.5y-60.

$$4x+160+3y-120=1320$$

Suma 160 a -120.

$$4x+3y+40=1320$$

Resta 40 en ambos lados da ecuación.

$$4x+3y=1280$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\1280\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\1280\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\1280\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\1280\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4}&-\frac{1}{3-4}\\-\frac{4}{3-4}&\frac{1}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\1280\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\1280\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 360+1280\\4\times 360-1280\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=200,y=160$$