Resolver {l}{x+y=30}{20x+25y=640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30 } \\ { 20 x + 25 y = 640 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=22$$

$$y=8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=30,20x+25y=640$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=30$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+30$$

Substitúe x por -y+30 na outra ecuación, 20x+25y=640.

$$20\left(-y+30\right)+25y=640$$

Multiplica 20 por -y+30.

$$-20y+600+25y=640$$

Suma -20y a 25y.

$$5y+600=640$$

Resta 600 en ambos lados da ecuación.

$$5y=40$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en x=-y+30. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-8+30$$

Suma 30 a -8.

$$x=22$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=22,y=8$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=30,20x+25y=640$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-20}&-\frac{1}{25-20}\\-\frac{20}{25-20}&\frac{1}{25-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-\frac{1}{5}\\-4&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 30-\frac{1}{5}\times 640\\-4\times 30+\frac{1}{5}\times 640\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\8\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=22,y=8$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=30,20x+25y=640$$

Para que x e 20x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 20 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$20x+20y=20\times 30,20x+25y=640$$

Simplifica.

$$20x+20y=600,20x+25y=640$$

Resta 20x+25y=640 de 20x+20y=600 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20x-20x+20y-25y=600-640$$

Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$20y-25y=600-640$$

Suma 20y a -25y.

$$-5y=600-640$$

Suma 600 a -640.

$$-5y=-40$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en 20x+25y=640. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$20x+25\times 8=640$$

Multiplica 25 por 8.

$$20x+200=640$$

Resta 200 en ambos lados da ecuación.

$$20x=440$$

Divide ambos lados entre 20.

$$x=22$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=22,y=8$$