Resolver {l}{x+y=30}{2x+25y=698}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30 } \\ { 2 x + 25 y = 698 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{52}{23} = 2\frac{6}{23} \approx 2.260869565$$

$$y = \frac{638}{23} = 27\frac{17}{23} \approx 27.739130435$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=30,2x+25y=698$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=30$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+30$$

Substitúe x por -y+30 na outra ecuación, 2x+25y=698.

$$2\left(-y+30\right)+25y=698$$

Multiplica 2 por -y+30.

$$-2y+60+25y=698$$

Suma -2y a 25y.

$$23y+60=698$$

Resta 60 en ambos lados da ecuación.

$$23y=638$$

Divide ambos lados entre 23.

$$y=\frac{638}{23}$$

Substitúe y por \frac{638}{23} en x=-y+30. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{638}{23}+30$$

Suma 30 a -\frac{638}{23}.

$$x=\frac{52}{23}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{52}{23},y=\frac{638}{23}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=30,2x+25y=698$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-2}&-\frac{1}{25-2}\\-\frac{2}{25-2}&\frac{1}{25-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{23}\times 30-\frac{1}{23}\times 698\\-\frac{2}{23}\times 30+\frac{1}{23}\times 698\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{52}{23}\\\frac{638}{23}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{52}{23},y=\frac{638}{23}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=30,2x+25y=698$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2y=2\times 30,2x+25y=698$$

Simplifica.

$$2x+2y=60,2x+25y=698$$

Resta 2x+25y=698 de 2x+2y=60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+2y-25y=60-698$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-25y=60-698$$

Suma 2y a -25y.

$$-23y=60-698$$

Suma 60 a -698.

$$-23y=-638$$

Divide ambos lados entre -23.

$$y=\frac{638}{23}$$

Substitúe y por \frac{638}{23} en 2x+25y=698. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+25\times \frac{638}{23}=698$$

Multiplica 25 por \frac{638}{23}.

$$2x+\frac{15950}{23}=698$$

Resta \frac{15950}{23} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{104}{23}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{52}{23}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{52}{23},y=\frac{638}{23}$$