Resolver {l}{x+y=27}{y=x-9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 27 } \\ { y = x - 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=18$$

$$y=9$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=-9$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=27,-x+y=-9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=27$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+27$$

Substitúe x por -y+27 na outra ecuación, -x+y=-9.

$$-\left(-y+27\right)+y=-9$$

Multiplica -1 por -y+27.

$$y-27+y=-9$$

Suma y a y.

$$2y-27=-9$$

Suma 27 en ambos lados da ecuación.

$$2y=18$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en x=-y+27. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-9+27$$

Suma 27 a -9.

$$x=18$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=18,y=9$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=-9$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=27,-x+y=-9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27-\frac{1}{2}\left(-9\right)\\\frac{1}{2}\times 27+\frac{1}{2}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\9\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=18,y=9$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=-9$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=27,-x+y=-9$$

Resta -x+y=-9 de x+y=27 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x+x+y-y=27+9$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x+x=27+9$$

Suma x a x.

$$2x=27+9$$

Suma 27 a 9.

$$2x=36$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=18$$

Substitúe x por 18 en -x+y=-9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-18+y=-9$$

Suma 18 en ambos lados da ecuación.

$$y=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=18,y=9$$